Tentukan hasil dari \( \int x \ e^{-x} \ dx = \cdots \ ? \)
Pembahasan:
Gunakan teknik integral parsial. Misalkan \(u = x\) dan \(dv = e^{-x} \ dx\), sehingga:
\begin{aligned} u &= x \Leftrightarrow \frac{du}{dx} = 1 \Leftrightarrow du = dx \\[8pt] dv &= e^{-x} \ dx \Leftrightarrow v = \int e^{-x} \ dx = -e^{-x} \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} \int u \ dv &= uv - \int v \ du \\[8pt] \int x \ e^{-x} \ dx &= x \cdot -e^{-x} - \int -e^{-x} \ dx \\[8pt] &= -x \ e^{-x} + \int e^{-x} \ dx \\[8pt] &= -x \ e^{-x} + \left( -e^{-x} \right) + C \\[8pt] &= -x \ e^{-x} -e^{-x} + C \\[8pt] &= -(x+1) e^{-x} + C \end{aligned}